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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 11: Series

EJERCICIO 1

Escriba el término general de las siguientes series (En los casos que la serie sea geométrica o telescópica, escriba la expresión de las sumas parciales y calcule la suma de la serie)

a) 1−13+15−17+19−…1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\ldots
b) 1+13+17+115+131+…1+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{15}+\frac{1}{31}+\ldots
c) 1+23+49+827+…1+\frac{2}{3}+\frac{4}{9}+\frac{8}{27}+\ldots
d) 12+16+112+120+130+142+…\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\ldots
EJERCICIO 2

Calcule la suma de las siguientes series, en caso de que sean convergentes.

a) ∑n=1∞13n+1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n+1}}
b) ∑n=0∞3n+4n+15n\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^{n}+4^{n+1}}{5^{n}}
c) ∑n=0∞22n−14n+1\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{2 n}-1}{4^{n+1}}
d) ∑n=1∞2n(n+1)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n(n+1)}
e) ∑n=4∞1n(n−1)\sum_{n=4}^{\infty} \frac{1}{n(n-1)}
f) ∑n=2∞(32)n+1\sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{3}{2}\right)^{n+1}
EJERCICIO 3

Calcule el valor de a>0a>0 para que ∑n=0∞1+2nan=3512\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1+2^{n}}{a^{n}}=\frac{35}{12}.

EJERCICIO 4

Decida si cada una de las siguientes series es convergente o divergente:

a) ∑n=1∞nn3+1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{3}+1}
b) ∑n=1∞1n2+n−1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+n-1}
c) ∑n=1∞n3+14n4+5n−1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3}+1}{4 n^{4}+5 n-1}
d) ∑n=1∞n3n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^{n}}
e) ∑n=1∞(1+1n)n\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}
f) ∑n=1∞3+(−1)n2n+1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3+(-1)^{n}}{2^{n+1}}
g) ∑n=1∞1nn+1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{n+1}}
h) ∑n=1∞2+sin⁡3(n)2n+n2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2+\sin^{3}(n)}{2^{n}+n^{2}}
i) ∑n=0∞n!(n+2)!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{(n+2)!}
j) ∑n=1∞n23+nn2+n+1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[3]{n^{2}}+\sqrt{n}}{n^{2}+n+1}
EJERCICIO 6

Use el criterio de la raíz o del cociente, según convenga, para determinar la convergencia o divergencia de las siguientes series:

a) ∑n=1∞n!nn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}}
b) ∑n=1∞(1−1n)n2\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}
c) ∑n=0∞(n!)2(2n)!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n!)^{2}}{(2 n)!}
d) ∑n=1∞3nn!nn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n} n!}{n^{n}}
e) ∑n=0∞(1000)nn!\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1000)^{n}}{n!}
f) ∑n=1∞(nn−12)n\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt[n]{n}-\frac{1}{2}\right)^{n}
g) ∑n=1∞nln⁡n2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{\ln ^{n} 2}
h) ∑n=1∞2nn!nn\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n} n!}{n^{n}}
EJERCICIO 7

Determine la convergencia o divergencia de las series que siguen. En caso de convergencia, decida si ésta es absoluta o condicional.

a) ∑n=1∞cos⁡(n+1)n3+1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos (n+1)}{n^{3}+1}
b) ∑n=0∞(−1)n+1nn+100\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{\sqrt{n}}{n+100}
c) ∑n=0∞(−1)n3n+5n\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3^{n}+5 n}
d) ∑n=1∞(−1)n(2n+1003n+1)n\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{2 n+100}{3 n+1}\right)^{n}
e) ∑n=1∞(−1)nln⁡nn\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\ln n}{n}
f) ∑n=1∞(−1)n(1−1n)n\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}

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